CONSTRUINDO O TRIÂNGULO HIPERBÓLICO NO SOFTWARE GEOGEBRA: UMA EXPERIÊNCIA COM FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Guilherme Fernando Ribeiro - Luciano Ferreira - Talita Secorun dos Santos
guilherme.ribeiro91@hotmail.com - lulindao66@hotmail.com - tsecorun@hotmail.com
Universidade Estadual do Paraná Campus de Campo Mourão - Universidade Estadual
de Maringá - Universidade Estadual do Paraná Campus de Campo Mourão - Brasil
Modalidade: Comunicação Nível: Formação e atualização docente Palavras chave: Geometria Euclidiana, Geometria não-euclidiana, Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Resumo Neste trabalho relatamos uma experiência desenvolvida com alunos do 3º ano do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão (FECILCAM), da cidade de Campo Mourão, Paraná, Brasil. O objetivo principal desse trabalho foi analisar como acadêmicos de matemática aceitariam a ideia da soma dos ângulos internos de um H_Triângulo da Geometria Hiperbólica ser menor que 180º, ao construírem tal triângulo com o software GeoGebra e compará-lo com o triângulo Euclidiano. Este texto integra um trabalho maior que visa elaborar e aplicar atividades acerca do conteúdo de Geometria Hiperbólica na formação inicial de professores de matemática, utilizando o GeoGebra. Neste artigo, iremos descrever brevemente as 14 atividades aplicadas aos acadêmicos e apresentaremos as análises da construção da 14ª atividade que trata da construção do H_Triângulo. Para este trabalho, analisamos como os alunos passaram a pensar sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, com base na construção do H_Triângulo no GeoGebra. A ideia de estudar a Geometria Hiperbólica surge após o contéudo de geometria não-euclidiana ser incluso no Currículo da Educação Básica por meio das DCE, Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica, no final de 2006. Introdução
No final do ano de 2006 foi divulgada no Estado do Paraná as Diretrizes Curriculares de
Matemática para a Educação Básica (DCE), que trouxe no item Conteúdo Estruturante
Geometria o tema Tópico Geometrias não-euclidianas.
No entanto, a inclusão deste tema torna-se questionável ao considerarmos as reais
condições para o desenvolvimento desse conteúdo em sala de aula. Primeiramente,
conforme aponta Santos (2009), grande parte dos professores da Educação Básica
apresentam dificuldades com a própria Geometria Euclidiana e desconhecem as
A falta de preparo dos professores para trabalhar com as Geometrias não-euclidianas
também foi denunciada por Caldatto (2011), que aponta para a falta de materiais de
apoio para que os professores possam trabalhar com o tema e a falta de tempo para
abordar todos os conteúdos trazidos pelas DCE.
Segundo Lovis (2009), Bonete (2000), Cabariti (2004), Santalo (2006) e Santos (2009),
parte significativa dos professores de matemática que atuam na Rede Estadual de
Ensino do Paraná não possuem o conhecimento necessário para trabalhar com a
Geometria não-euclidiana. Esses pesquisadores afirmam que as dificuldades do
professor em ensinar/trabalhar com a Geometria não-euclidiana acontece devido a falta
de conhecimento do assunto e de formação necessária.
Considerando toda essa problemática, surgiu a ideia desta pesquisa. Baseados na
pesquisa de Ferreira (2011), elaboramos atividades sobre Geometria Hiperbólica,
utilizando o software GeoGebra, e aplicamos em uma turma de formação inicial em
A importância de se trabalhar a Geometria Hiperbólica no Ensino Médio é ressaltada
pelas DCE. Tal documento aponta que o estudo das noções de Geometrias não-
euclidianas aprofunda-se ao abordar a Geometria dos Fractais, Geometria Hiperbólica e
Neste trabalho, iremos descrever 14 atividades aplicadas aos acadêmicos de matemática
e apresentar as análises da 14ª Atividade: Construindo o H_Triângulo. Baseados nas
DCE, elaboramos a 14ª Atividade que tinha como objetivo principal fazer um
comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Euclidiana
e na Geometria Hiperbólica. Nesse trabalho, pretendíamos investigar como os
acadêmicos aceitariam que ao construir o H_Triângulo a soma dos ângulos internos não
Metodologia
A aplicação das atividades foi realizada na cidade de Campo Mourão, no Estado do
Paraná, na Universidade Estadual do Paraná - Campus de Campo Mourão
(UNESPAR/FECILCAM), no ano de 2011. Os sujeitos participantes da pesquisa foram
16 alunos do 3º ano do curso de Licenciatura de Matemática da
UNESPAR/FECILCAM. Na apresentação da História da Geometria, utilizamos 4 aulas
de 50 minutos cada. Já na aplicação das atividades, foram utilizadas 12 aulas de 50
Foi solicitado que cada aluno trouxesse seu próprio notebook com o software GeoGebra
instalado. Os pesquisadores realizaram uma explicação acerca da História da Geometria,
fazendo uma breve “viagem” histórica desde a construção da Geometria Euclidiana até
o surgimento das Geometrias não-euclidianas. Foram apresentadas brevemente a
Geometria Elíptica, a Geometria dos Fractais, a Geometria Topológica, a Geometria
Projetiva e, por fim, a Geometria Hiperbólica.
Como forma de familiarização do sujeito com o software GeoGebra, foram aplicadas
cinco atividades iniciais. A 1ª Atividade tratava da representação do primeiro postulado
de Euclides que diz que: Para todo ponto A e todo ponto B diferente de A, existe uma
única reta a que passa por A e B. A 2ª Atividade tratava do segundo postulado de
Euclides, que diz que: Um segmento retilíneo pode sempre ser prolongado. Já a 3ª
Atividade era a representação do terceiro postulado de Euclides, que diz que: Existe
uma única circunferência com centro e raio dado. Para a 4ª Atividade, ficou a
representação do quarto postulado de Euclides: Todos os ângulos retos são iguais. Na 5ª
Atividade, sugerimos a representação do quinto postulado de Euclides: Se uma reta c
corta duas outras retas a e b (no mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores (α e β) de um mesmo lado de c é menor que dois retos, então a e b, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de c. A Figura 1, trata da
ilustração do quinto postulado de Euclides.
Figura 1 – Quinto postulado de Euclides
Baseado em Ferreira (2011), os sujeitos participantes da pesquisa construíram as
ferramentas necessárias para a elaboração do Plano de Poincaré. A 6ª Atividade tratou
da construção da ferramenta H_Reta. A 7ª Atividade ficou com o título Testando a
ferramenta H_Reta. A 8ª Atividade trazia a construção da ferramenta H_Segmento. A 9ª
Atividade era denominada Testando a ferramenta H_Segmento. A 10ª Atividade foi a
construção da ferramenta H_Distância. E, por fim, a 11ª Atividade ficou intitulada como
Testando a ferramenta H_Distância. As construções de macro ferramentas e seus
respectivos testes de funcionamento foram necessários para a construção do modelo do
Plano de Poincaré. Essa etapa exigiu dos sujeitos muita atenção, sendo utilizadas duas
aulas para as construções dessas ferramentas e seus respectivos testes.
A 12ª Atividade tratou da construção do axioma hiperbólico. O Axioma Hiperbólico,
segundo Greenberg (1973, p.148), diz que: “Na Geometria Hiperbólica existe uma reta l
e um ponto P, não pertencente a l, tal que existe pelo menos duas retas que passam por
P e são paralelas a reta l”. A 13ª Atividade tratou da comprovação desse Axioma
Hiperbólico. Essas duas atividades foram as que os sujeitos mais sentiram dificuldades.
A 14ª Atividade, que tinha como nome Construindo o H_Triângulo, teve como objetivo
propor um comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria
Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. Existe um teorema da Geometria Euclidiana
que trata acerca da soma dos ângulos internos de triângulos: “A soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo ABC é igual a 180 graus”. Essa atividade visava
mostrar aos acadêmicos que tal teorema não é válido na Geometria Hiperbólica.
Nesse trabalho, iremos analisar/investigar como e se os alunos aceitaram a 14ª
Atividade: Construindo o H_Triângulo, ou seja, se eles aceitaram que ao construir o
H_Triângulo a soma dos ângulos internos não é 180º.
Para a análise dos dados coletados, codificamos os participantes da pesquisa. Como o
número de participante foi um total de 16, temos então os participantes codificados de 1
a 16, ou seja, A.1 (aluno um) para as respostas do primeiro participante, A.2 (aluno
dois) para o segundo participantes,., A.16 (aluno dezesseis). Essa codificação foi
realizada de maneira aleatória. Vale lembrar que cada participante teve a mesma
Analisando a atividade H_Triângulo
Nessa atividade, pretendíamos que os alunos fizessem uma comparação com a soma dos
ângulos interno de um triângulo na Geometria Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. E
a partir daí, passassem a aceitar a existência de uma Geometria não-euclidiana que
possibilita que a soma dos ângulos internos de um triângulo seja menor que 180º.
Esperávamos encontrar uma resistência natural em aceitar o H_Triângulo, já que a
Geometria Euclidiana é posta na escola como uma verdade única e incontestável. No
entanto, esperávamos também que a utilização do software facilitasse a aceitação de tal
fato pelos sujeitos participantes da pesquisa.
Durante a apresentação da parte histórica e dos modelos da Geometria Hiperbólica,
houve uma resistência dos alunos no sentido de aceitar um triângulo cuja a soma fosse
menor que 180º. Para nós o uso do software poderia contribuir para o entendimento e
Ao entregar a décima quarta atividade aos alunos e expor o que seria realizado,
solicitamos que ao término desta atividade os alunos salvassem o arquivo com o nome
“14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo”. Nessa atividade, os alunos tiveram a
oportunidade de calcular qual a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Euclidiana e um H_Triângulo na Geometria Hiperbólica. O software
GeoGebra possibilitou que eles pudessem movimentar as figuras e comparar os
Não estipulamos um tempo máximo para realização, visto que cada acadêmico
participante já tinha constituído certa habilidade em relação ao software GeoGebra, no
Ao término da 14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo, os alunos se depararam com
a seguinte questão dada em um questionário: No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo euclidiano? Como você explica esse acontecimento? A Tabela 1 indica a análise da questão indagada na Construção do
Buscamos relacionar o número de alunos que chegaram a basicamente uma mesma
resposta. Em seguida, foi realizada a classificação das respostas, de acordo com suas
especificidades. Na Tabela 1 apresentam-se também alguns excertos de respostas dadas
pelos sujeitos. Por fim, na última coluna têm-se os comentários.
Tabela 1 - Análise da questão da Construção do H_Triângulo
1 – No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo
euclidiano? Como você explica esse acontecimento?
Respostas dos Excertos de Justificativa dada alunos de acordo respostas dadas Comentários pelos acadêmicos com a codificação pelos sujeitos interno é menor que aceitar a existência
Mesmo os alunos estando familiarizados com o software GeoGebra, eles apresentaram
dificuldade para realizar a 14º atividade. Alguns alunos se mostravam atentos e
motivados, já outros demonstravam certo desinteresse.
Todos os participantes precisaram de ajuda, solicitando aos pesquisadores
esclarecimentos acerca de suas dúvidas, algumas referentes à construção, outras
referentes às teorias que envolviam a construção. O objetivo dessa atividade era
construir um H_Triângulo e verificar a sua soma dos ângulos internos, bem como fazer
o comparativo com o triângulo euclidiano. Para a construção do H_Triângulo, os
acadêmicos utilizaram ferramentas do software e conceitoscomo eixo, ponto, círculo,
reta tangente, segmento definido por dois pontos, ângulos e vértices. Isso mostra que, ao
se trabalhar com as Geometrias não-euclidianas, é necessário um sólido conhecimento
Essas ferramentas e esses conceitos devem ser concebidos de modo a permitir ao aluno
agir, se expressar, refletir e evoluir, podendo ele então adquirir novos conhecimentos.
Na Figura 2, temos a construção do H_Triângulo. Essa construção foi realizada pelo
Figura 2 – Construção do H_Triângulo
Após a construção da 14ª atividade, percebemos que todos os alunos participantes da
pesquisa conseguiram visualizar que a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Hiperbólica é menor que 180º, porém nem todos aceitaram essa Geometria,
ficando ainda fortemente presente a ideia de uma geometria única, aquela fortemente
Considerações Finais
Considerando as dificuldades enfrentadas para a inclusão efetiva das Geometrias não-
euclidianas na Educação Básica, pretendíamos nesse trabalho elaborar atividades de
Geometria Hiperbólica baseadas em Ferreira (2011), e aplicar tais atividades utilizando
o software GeoGebra na formação inicial de professores de matemática.
Nessa pesquisa, pretendíamos analisar se os acadêmicos, ao construírem o triângulo da
Geometria Euclidiana e o H_Triângulo da Geometria Hiperbólica no GeoGebra,
conseguiriam aceitar que na Geometria Hiperbólica a soma dos ângulos internos de um
triangulo não é 180º. Escolheu-se o GeoGebra, por ser um software livre de geometria
dinâmica, bem como por ele estar implantando na rede Paraná Digital, que é um projeto
de inclusão digital das escolas públicas do Estado do Paraná. Este projeto visa
disponibilisar meios educacionais por meio de computadores e da Internet, com o
objetivo de melhorar a qualidade do ensino.
Após as análises das respostas da 14ª atividade, podemos dizer que o GeoGebra foi um
facilitador, já que ele possibilitou que os acadêmicos visualizassem e movessem os
triângulos e observassem a soma dos ângulos internos dos triângulos. Com isso, apenas
2 (dois) alunos não conseguiram aceitar e compreender o H_Triângulo e a soma de seus
Temos que relacionar as aulas de matemática com softwares, como o Geogebra, em
busca de um ensino e aprendizado mais em concordância com as inovações tecnológicas
atuais, desde que estas inovações tragam contribuição para a qualidade de nosso ensino
Referências bibliográficas
BONETE, Izabel P. As Geometrias Não-Euclidianas em Cursos de Licenciatura: Algumas Experiências. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp, Campinas, 2000. 240 f. CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em ambiente informatizado. 131 f. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004. CALDATTO, Marlova Estela. O processo coletivo de elaboração das Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná e a inserção das Geometrias Não Euclidianas. 261 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2011. FERREIRA, Luciano. Uma proposta de ensino de Geometria Hiperbólica: “construção do Plano de Poincaré” com o uso do software Geogebra. 293 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática) – Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2011. GREENBERG, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. 2. ed. California: Santa Cruz, 1973. 400p. LOVIS, Karla Aparecida. Geometria Euclidiana e Geometria Hiperbólica em um Ambiente de Geometria Dinâmica: o que pensam e o que fazem os professores. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Paraná 2009. 147f. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, p. 84, 2008.
SANTALO, Luis A. Matemática para não-matemáticos. In: PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução: Juan Acuna Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 2006. SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das Geometrias não-euclidianas no currículo da Educação Básica. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2008.
O direito à greve em xeque: resistência X precarização do trabalho Anderson Andrade (UERJ) e Vera Oliveira (LPP/UERJ)O texto em questão se propõe a apresentar, de forma sucinta, reflexões acerca das principais ações ocorridas no mês de agosto no que se refere aos movimentos sociais e sindicais brasileiros. Para tanto, tem como base as informações apresentadas no documento Cronolog
PIONEER VALLEY REGIONAL SCHOOL DISTRICT NORTHFIELD, BERNARDSTON, LEYDEN, WARWICK SCHOOL HEALTH SERVICES INTERVAL HEALTH HISTORY 2010-2011 NAME: _______________________________________________ GRADE: _______ Dear Parent/Guardian: In order to keep your child’s health record up to date and to provide better health services to your child, we ask that you complete the following qu
CONSTRUINDO O TRIÂNGULO HIPERBÓLICO NO SOFTWARE 
parte significativa dos professores de matemática que atuam na Rede Estadual de
Ensino do Paraná não possuem o conhecimento necessário para trabalhar com a
Geometria não-euclidiana. Esses pesquisadores afirmam que as dificuldades do
professor em ensinar/trabalhar com a Geometria não-euclidiana acontece devido a falta
de conhecimento do assunto e de formação necessária.
Considerando toda essa problemática, surgiu a ideia desta pesquisa. Baseados na
pesquisa de Ferreira (2011), elaboramos atividades sobre Geometria Hiperbólica,
utilizando o software GeoGebra, e aplicamos em uma turma de formação inicial em
A importância de se trabalhar a Geometria Hiperbólica no Ensino Médio é ressaltada
pelas DCE. Tal documento aponta que o estudo das noções de Geometrias não-
euclidianas aprofunda-se ao abordar a Geometria dos Fractais, Geometria Hiperbólica e
Neste trabalho, iremos descrever 14 atividades aplicadas aos acadêmicos de matemática
e apresentar as análises da 14ª Atividade: Construindo o H_Triângulo. Baseados nas
DCE, elaboramos a 14ª Atividade que tinha como objetivo principal fazer um
comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Euclidiana
e na Geometria Hiperbólica. Nesse trabalho, pretendíamos investigar como os
acadêmicos aceitariam que ao construir o H_Triângulo a soma dos ângulos internos não
Metodologia 
Geometria Elíptica, a Geometria dos Fractais, a Geometria Topológica, a Geometria
Projetiva e, por fim, a Geometria Hiperbólica.
Como forma de familiarização do sujeito com o software GeoGebra, foram aplicadas
cinco atividades iniciais. A 1ª Atividade tratava da representação do primeiro postulado
de Euclides que diz que: Para todo ponto A e todo ponto B diferente de A, existe uma
única reta a que passa por A e B. A 2ª Atividade tratava do segundo postulado de
Euclides, que diz que: Um segmento retilíneo pode sempre ser prolongado. Já a 3ª
Atividade era a representação do terceiro postulado de Euclides, que diz que: Existe
uma única circunferência com centro e raio dado. Para a 4ª Atividade, ficou a
representação do quarto postulado de Euclides: Todos os ângulos retos são iguais. Na 5ª
Atividade, sugerimos a representação do quinto postulado de Euclides: Se uma reta c
corta duas outras retas a e b (no mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores (α e β) de um mesmo lado de c é menor que dois retos, então a e b, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de c. A Figura 1, trata da
ilustração do quinto postulado de Euclides.
Figura 1 – Quinto postulado de Euclides 
P e são paralelas a reta l”. A 13ª Atividade tratou da comprovação desse Axioma
Hiperbólico. Essas duas atividades foram as que os sujeitos mais sentiram dificuldades.
A 14ª Atividade, que tinha como nome Construindo o H_Triângulo, teve como objetivo
propor um comparativo com a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria
Euclidiana e na Geometria Hiperbólica. Existe um teorema da Geometria Euclidiana
que trata acerca da soma dos ângulos internos de triângulos: “A soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo ABC é igual a 180 graus”. Essa atividade visava
mostrar aos acadêmicos que tal teorema não é válido na Geometria Hiperbólica.
Nesse trabalho, iremos analisar/investigar como e se os alunos aceitaram a 14ª
Atividade: Construindo o H_Triângulo, ou seja, se eles aceitaram que ao construir o
H_Triângulo a soma dos ângulos internos não é 180º.
Para a análise dos dados coletados, codificamos os participantes da pesquisa. Como o
número de participante foi um total de 16, temos então os participantes codificados de 1
a 16, ou seja, A.1 (aluno um) para as respostas do primeiro participante, A.2 (aluno
dois) para o segundo participantes,., A.16 (aluno dezesseis). Essa codificação foi
realizada de maneira aleatória. Vale lembrar que cada participante teve a mesma
Analisando a atividade H_Triângulo 
oportunidade de calcular qual a soma dos ângulos internos de um triângulo na
Geometria Euclidiana e um H_Triângulo na Geometria Hiperbólica. O software
GeoGebra possibilitou que eles pudessem movimentar as figuras e comparar os
Não estipulamos um tempo máximo para realização, visto que cada acadêmico
participante já tinha constituído certa habilidade em relação ao software GeoGebra, no
Ao término da 14ª Atividade – Construindo o H_Triângulo, os alunos se depararam com
a seguinte questão dada em um questionário: No H_Triângulo a soma dos ângulos
internos é igual a 180º? E no triângulo euclidiano? Como você explica esse
acontecimento? A Tabela 1 indica a análise da questão indagada na Construção do
Buscamos relacionar o número de alunos que chegaram a basicamente uma mesma
resposta. Em seguida, foi realizada a classificação das respostas, de acordo com suas
especificidades. Na Tabela 1 apresentam-se também alguns excertos de respostas dadas
pelos sujeitos. Por fim, na última coluna têm-se os comentários.
Tabela 1 - Análise da questão da Construção do H_Triângulo
1 – No H_Triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º? E no triângulo
euclidiano? Como você explica esse acontecimento?
Respostas dos 
Mesmo os alunos estando familiarizados com o software GeoGebra, eles apresentaram
dificuldade para realizar a 14º atividade. Alguns alunos se mostravam atentos e
motivados, já outros demonstravam certo desinteresse.
Todos os participantes precisaram de ajuda, solicitando aos pesquisadores
esclarecimentos acerca de suas dúvidas, algumas referentes à construção, outras
referentes às teorias que envolviam a construção. O objetivo dessa atividade era
construir um H_Triângulo e verificar a sua soma dos ângulos internos, bem como fazer
o comparativo com o triângulo euclidiano. Para a construção do H_Triângulo, os
acadêmicos utilizaram ferramentas do software e conceitos como eixo, ponto, círculo,
reta tangente, segmento definido por dois pontos, ângulos e vértices. Isso mostra que, ao
se trabalhar com as Geometrias não-euclidianas, é necessário um sólido conhecimento
Essas ferramentas e esses conceitos devem ser concebidos de modo a permitir ao aluno
agir, se expressar, refletir e evoluir, podendo ele então adquirir novos conhecimentos.
Na Figura 2, temos a construção do H_Triângulo. Essa construção foi realizada pelo
Figura 2 – Construção do H_Triângulo 
de inclusão digital das escolas públicas do Estado do Paraná. Este projeto visa
disponibilisar meios educacionais por meio de computadores e da Internet, com o
objetivo de melhorar a qualidade do ensino.
Após as análises das respostas da 14ª atividade, podemos dizer que o GeoGebra foi um
facilitador, já que ele possibilitou que os acadêmicos visualizassem e movessem os
triângulos e observassem a soma dos ângulos internos dos triângulos. Com isso, apenas
2 (dois) alunos não conseguiram aceitar e compreender o H_Triângulo e a soma de seus
Temos que relacionar as aulas de matemática com softwares, como o Geogebra, em
busca de um ensino e aprendizado mais em concordância com as inovações tecnológicas
atuais, desde que estas inovações tragam contribuição para a qualidade de nosso ensino
Referências bibliográficas 
SANTALO, Luis A. Matemática para não-matemáticos. In: PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução: Juan Acuna Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 2006. SANTOS, Talita Secorun dos. A inclusão das Geometrias não-euclidianas no currículo da Educação Básica. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, 2008.